Quaternion(쿼터니온)은 3D 벡터 공간에서 어떤 물체의 회전을 나타내는 방법입니다. 3D 그래픽에서 많이 사용되는 회전 표현 방법 중 하나입니다. Quaternion은 4차원 벡터로 표현되고, 조금 직관적이지 못한 형태를 하고 있습니다. 하지만, 다른 방법에 비해 장점이 있기 때문에 많이 사용되고 있습니다. Unity 같은 게임 엔진에서도 Quaternion을 사용하여 회전을 표현합니다.

Rotation Matrix

사람에게 직관적인 표현 방법은 어떤 축을 기준으로 $ \theta $만큼 회전한다고 표현하는 것입니다. 이 방식을 오일러 각(Euler angles)이라고 합니다. 사람이 이해하기 굉장히 쉽다는 장점이 있습니다. 회전 행렬(rotation matrix)을 이용하면 특정 축을 기준으로 회전한 결과를 구할 수 있습니다.

2차원에서는 반시계(counterclockwise) 방향으로 $ \theta $만큼 회전한 경우의 회전 행렬은 다음과 같습니다.

\[ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \]

따라서 2차원 위의 어떤 벡터 $ \mathbf{v} = (x, y) $를 $ \theta $만큼 회전한다고 하면, 회전된 벡터 $ \mathbf{v'} = (x', y') $는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = R\mathbf{v} \]

그대로 3차원으로 확장할 수 있는데, 2차원에서는 회전 행렬이 하나만 필요했었다면 3차원에서는 $ x, y, z $축에 대한 3개의 회전 행렬이 필요합니다. 각각 아래와 같습니다.

\[ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \,\,\,\,\,\,\,\,\, R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix}, \,\,\,\,\,\,\,\,\, R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

이런 방식은 굉장히 직관적이기는 하지만, 회전 행렬을 이용하면 회전을 연속적으로 적용할 때 매번 회전 행렬을 곱해야 하기 때문에 계산량이 많아집니다. 행렬 연산은 비싸기 때문에 성능이 중요한 경우 문제를 일으킬 수 있습니다. 또, 각 축이 서로 독립적이지 않기 때문에 회전 순서에 영향을 받습니다. 예를 들어, $ x $축으로 90도 회전한 후 $ y $축으로 90도 회전한 경우 $ v' = R_y R_x v $인데, $ y $축으로 먼저 회전한 경우, $ v' = R_x R_y v $가 되어 다른 결과를 얻게 됩니다.

Gimbal Lock

짐벌 락(Gimbal lock)은 오일러 각을 이용한 회전 표현 방법에서 발생하는 문제입니다.

$Gimbal Lock$

각 축이 서로 의존하기 때문에 한 축이 다른 축을 가로막는 현상이 발생합니다. 이런 경우 회전을 제대로 표현할 수 없게 되는데, 이를 짐벌 락이라고 합니다. 위 그림에서 볼 수 있듯이 한 축이 90도 회전하면 다른 축이 회전할 수 있는 자유도가 사라지게 됩니다. 다른 축과 합쳐져 표현할 수 있는 범위가 줄어듭니다. 이것을 Gimbal Lock이라고 하고, Quaternion이 해결합니다.

Quaternion

Quaternion은 4차원 벡터로 표현되는데, 다음과 같은 형태를 가집니다.

\[ q = w + xi + yj + zk \]

여기서 $ i, j, k $는 $ x, y, z $축을 나타내는 허수 단위입니다. 즉, $ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $입니다. $ w $는 스칼라 부분이고, $ x, y, z $는 벡터 부분입니다. $ q $는 단위 벡터(unit vector)이어야 합니다. 즉, $ w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1 $이어야 합니다.

2차원에서 오일러 공식을 이용해 회전을 표현할 수 있습니다.

\[ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \]

이 식을 3차원으로 3개의 축에 대해서 확장한 것이 Quaternion입니다. (아래 식이 $ \theta / 2 $인 것은 이후 설명하겠습니다.)

\[ q = \cos \frac{\theta}{2} + (xi + yj + zk)\sin \frac{\theta}{2} \]

이제 어떤 벡터 $ \mathbf{v} = (x, y, z) $를 $ q $로 회전한다고 했을 때, 회전된 벡터 $ \mathbf{v'} $는 다음과 같이 구할 수 있습니다. (이 식이 어떻게 유도되었는지는 뒤에 설명하겠습니다.)

\[ \mathbf{v'} = q \mathbf{v} q^{-1} \]

다만, $ q $는 4차원 벡터이고, $ \mathbf{v} $는 3차원 벡터이기 때문에 변환을 해주어야 하는데, $ \mathbf{v} = (0, x, y, z) $로 변환하여 계산합니다. 그리고, $ q^{-1} $은 $ q $의 역원(conjugate)입니다.

\[ q^{-1} = \frac{w - xi - yj - zk}{w^2 + x^2 + y^2 + z^2} \]

이때, $ q $가 단위 벡터(unit vector)이어야 하니 분모가 1이 되어 $ q^{-1} = q^* $(켤레 복소수)가 됩니다.

반각을 쓰는 이유

위 식에서 $ \theta $가 아닌 $ \theta / 2 $를 사용하는 이유는 쿼터니언을 사용할 때 두 번 곱하기 때문입니다. 쿼터니언을 사용할 때 두 번 곱하면 $ \theta $만큼이 아니라 $ 2\theta $만큼 회전하게 됩니다. 따라서, $ \theta / 2 $를 사용하여 $ \theta $만큼 회전하도록 합니다.

\[ q \cdot q = \cos \theta + (xi + yj + zk)\sin \theta \]

Product

두 쿼터니언 $ p, q $의 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.

\[ \begin{align*} pq = \,\, & \left( w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2 \right) \\ & + \left( w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1y_2 \right)i \\ & + \left( w_1y_2 - x_1z_2 + y_1w_2 + z_1x_2 \right)j \\ & + \left( w_1z_2 + x_1y_2 - y_1x_2 + z_1w_2 \right)k \end{align*} \]

이 식은 사용하기에 굉장히 복잡하기 때문에, 다른 표현 방법을 사용해 간결히 표현하고는 합니다. 쿼터니온은 스칼라부와 벡터부로 나누어 표현할 수 있기 때문에 $ q = (w, \mathbf{v}) $로 표현할 수 있습니다. 이를 이용해 곱셈을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\[ q_1 q_2 = \left( s + \vec{v} \right)\left( t + \vec{w} \right) = \left(st - \vec{v} \cdot \vec{w} \right) + \left( s \vec{w} + t \vec{v} + \vec{v} \times \vec{w} \right) \]

쿼터니온의 곱셈을 이용하면 회전을 연속적으로 적용하는 상황을 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 두 쿼터니언 $ q_1, q_2 $가 있을 때, 먼저 $ q_1 $로 회전한 후 $ q_2 $로 회전하는 것은 $ q = q_2 q_1 $로 표현할 수 있습니다.

식 유도

이제 위에서 $ \mathbf{v'} = q \mathbf{v} q^{-1} $이 어떻게 유도되었는지 살펴봅시다.

Rodrigues' rotation formula

$ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 $인 어떤 벡터를 방향을 나타내는 어떤 단위벡터 $ \mathbf{k} $를 기준으로 $ \theta $만큼 회전한다고 합시다. 이때, 회전된 벡터 $ \mathbf{v'} $는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 이 식을 Rodrigues' rotation formula라고 합니다.

\[ \mathbf{v'} = \mathbf{v} \cos \theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v}) \sin \theta + \mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos \theta) \]

이 식을 이용해 Quaternion을 유도해봅시다.

Quaternion 유도

먼저, $ \mathbf{v} = (0, x, y, z) $로 변환하여 계산합니다. 그리고, $ \mathbf{k} = (0, i, j, k) $로 변환하여 계산합니다. 이때, $ \mathbf{k} \times \mathbf{v} $는 다음과 같이 계산됩니다.

\[ \mathbf{k} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ 0 & x & y \\ 0 & z & 0 \end{bmatrix} = (0, xk - yj, zi - 0) \]

따라서, Rodrigues' rotation formula를 이용하면 다음과 같이 계산됩니다.

\[ \begin{align*} \mathbf{v'} &= \mathbf{v} \cos \frac{\theta}{2} + (\mathbf{k} \times \mathbf{v}) \sin \frac{\theta}{2} + \mathbf{k}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos \frac{\theta}{2}) \\ &= (0, x, y, z) \cos \frac{\theta}{2} + (0, xk - yj, zi) \sin \frac{\theta}{2} + (0, xi + yj + zk)(0 + 0 + 0)(1 - \cos \frac{\theta}{2}) \\ &= (0, x, y, z) \cos \frac{\theta}{2} + (0, xk - yj, zi) \sin \frac{\theta}{2} \\ &= (0, x \cos \frac{\theta}{2} - y \sin \frac{\theta}{2}k + z \sin \frac{\theta}{2}j, x \sin \frac{\theta}{2}k + y \cos \frac{\theta}{2} - z \sin \frac{\theta}{2}i) \end{align*} \]

이제 이 결과를 Quaternion 형태로 변환하면 다음과 같습니다.

\[ q = \cos \frac{\theta}{2} + (xi + yj + zk)\sin \frac{\theta}{2} \]

따라서, $ \mathbf{v'} = q \mathbf{v} q^{-1} $이 성립합니다.